おみやげ算の計算については、機械的に暗記して使っている方がほとんどだと思います。
「なぜそのような計算方法になるのか？」を知りたい方向けに、おみやげ算をわかりやすく図で証明したいと思います。
おみやげ算は証明できるのか？
「おみやげ算は証明できるのか？」についてですが、中学3年生で学習する乗法公式（式を展開する公式）を使うと証明できます。
※乗法公式とは（X＋a）（X＋b）のような公式。
例えば14×12の場合、前半の式は「16×10」になりますが、これは乗法公式だと（14+2）（12-2）となります。
しかしおみやげ算を使うのは主に小学生。まだ習っておらず理解できないと思うのでこれ以上は割愛します。
小学生にもわかりやすく図を使って証明します。
おみやげ算をわかりやすく図で証明
17×12＝を例におみやげ算を証明していきます。
17×12＝は縦×横の掛け算です。図で表すと「図1」の四角形になります。
図1の四角形の横の数字（掛ける数）「12」を「10×○」に分割すると、図2の上の絵のように「10と2」に分けられます。
この数字の2の方の数（1桁の数）を横に倒したのが、図2の下の絵になります。
少しだけ右側が飛び出していることから、四角形が2つあることがわかります。
図2を左側の四角形と右側の（飛び出した）四角形に分けたのが「図3」の絵です。
左の四角形は19×10＝190と暗算で解けますね。これがおみやげ算の最初の計算の部分です。
そして右側の（飛び出した）四角形はおみやげ算の次にする計算です。ここでは2×7＝14になりました。
この2つ目の計算「2×7＝14」は、17×12の1桁同士の掛け算であることがわかります（※）
※縦×横は先程倒したので逆になっていますが、答えは同じになります
「最初の計算（掛け算）」と「次の1桁同士の掛け算」の後に足し算をするというのがおみやげ算でしたね。
それが上の図で証明されました。
最後に
おみやげ算はそれぞれを計算（掛け算）をした後に、最後に両方の数を足すのはなぜなのか？というのが図で理解できたかと思います。
機械的に暗記して計算していますが、以上ような理由から成り立っています。
最後の足し算をするのを忘れがちですが、上の図を思い出すとこれからは忘れずに計算できると思います。
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